间接平差定义： 间接平差法（参数平差法）是通过选定t个与观测值有一定关系的独立未知量作为参数，将每个观测值都表达成这t个参数的函数，建立函数模型，按最小二乘原理，用求自由极值的方法解出参数的最或然值，从而求得各观测值的平差值。
设由n个观测值为：$L_1,L-2,\cdots,L_n$，
n个改正数为：$v_1,v_2,\cdots,v_n$
t个未知参数：$\hat{x_1},\hat{x_2},\cdots,\hat{x_t}\qquad (n>t)$
观测方程
\[\left .\begin{aligned} L_1+v_1=b_{11}\hat{x_1}+b_{12}\hat{x_2}+\cdots+b_{1t}\hat{x_t}+d_1\\ L_2+v_2=b_{21}\hat{x_1}+b_{22}\hat{x_2}+\cdots+b_{2t}\hat{x_t}+d_2\\ \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\ L_n+v_n=b_{n1}\hat{x_1}+b_{n2}\hat{x_2}+\cdots+b_{nt}\hat{x_t}+d_n\\ \end{aligned} \right \}\]式中，$b_{ij}$为各未知参数的系数，d_i为各未知参数的系数，$d_i$为理论常数，均为已知值。
\[L=\begin{bmatrix} L_1\\L_2\\\vdots\\L_n \end{bmatrix} \qquad V=\begin{bmatrix} v_1\\v_2\\\vdots\\v_n \end{bmatrix} \qquad \hat{X}=\begin{bmatrix} \hat{x_1}\\\hat{x_2}\\\vdots\\\hat{x_t} \end{bmatrix}\] \[B=\begin{bmatrix} b_{11}&b_{12}&\ldots&b_{1t}\\ b_{21}&b_{22}&\ldots&b_{2t}\\ \ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\ b_{n1}&b_{n2}&\ldots&b_{nt}\\ \end{bmatrix} \qquad D=\begin{bmatrix} d_1\\d_2\\\vdots\\d_n \end{bmatrix}\] \[\begin{aligned} L+V&=B\hat{X}+D&\qquad(观测方程)\\ V&=B\hat{X}+D-L&\qquad(误差方程)\\ V&=B\hat{X}-l&\qquad(误差方程)\\ l&=L-D\\ \end{aligned}\]函数模型： \(V=B\hat{X}-l\\ l=L-D\\ (误差方程)\)
随机模型： \(E(\Delta)=0\qquad(真误差期望为零)\\ P=\sigma^2_0\sum^{-1}\qquad(权矩阵对称正定)\)
估值准则： \(V^TPV=最小\)
极值方程： \(B^TPV=0\)
法方程： \(B^TPB\hat{X}-B^TPl=0\\ X\hat{X}-U=0\\ B^TPB=N \qquad B^TPl=U\)
法方程的一般形式 $B^TPB\hat{X}-B^TPl=0$
观测值独立，权矩阵退化成对角阵
$B^TPV=0 \qquad(此组公式可作为平差检核公式)$
\(\begin{bmatrix} b_1\\b_2\\\vdots\\b_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p_1&&&\\&p_2&&\\&&\ddots&\\&&&p_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1\\v_2\\\vdots\\v_n \end{bmatrix} =0\) 同理 \(B^TPB= \begin{bmatrix} b_1\\b_2\\\vdots\\b_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p_1&&&\\&p_2&&\\&&\ddots&\\&&&p_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_1\\b_2\\\vdots\\b_n \end{bmatrix} \\ B^TPl= \begin{bmatrix} b_1\\b_2\\\vdots\\b_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p_1&&&\\&p_2&&\\&&\ddots&\\&&&p_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} l_1\\l_2\\\vdots\\l_n \end{bmatrix}\)
误差方程 $V=B\hat{X}+D-L$
取参数向量的近似值为$X_0\qquad\hat{X}=X_0+\delta\hat{X}$
\[X_0=\begin{bmatrix} x_1^0\\x_2^0\\\vdots\\x_t^0 \end{bmatrix} \qquad \delta\hat{X}=\begin{bmatrix} \delta\hat{x_1}\\\delta\hat{x_2}\\\vdots\\\delta\hat{x_t} \end{bmatrix}\]代入误差方程： \(V=B(X_0+\delta\hat{X})+D-L\)
得： \(V=B\cdot\delta\hat{X}-l\\ l=-(BX_0+D-L)\)
法方程： \(B^TPB\cdot\delta\hat{X}-B^TPl=0\\ N\cdot\delta\hat{X}-U=0\)
分析：
例1： 设L_1,L_2,…,L_n为同一独立，，权分别为p_1,p_2,…,p_n，
解： 设$\hat{x}$为观测量的最或然值，误差方程为$v_i=\hat{x}-L_i$
\[\hat{x}=\frac{[pL]}{[p]}\]一个量独立观测结果的最或然值就是加权平均值。
观测等精度时 \(p_1=p_2=\ldots=p_n \\\hat{x=\frac{[pL]}{[p]}=\frac{p[L]}{np}} \\\hat{x}=\frac{[L]}{n}\)
一个量独立等精度观测结果的最或然值就是算术平均值。
例2： 平面三角形中观测了三内角，观测值为$L_1=62^\circ17^\prime52^{\prime\prime},L_2=33^\circ52^\prime19^{\prime\prime},L_3=83^\circ49^\prime43^{\prime\prime}$，各角独立等精度。求各角最或然值。
解： （1）选参数
设$L_1,L_2$的平差值为$\hat{x_1},\hat{x_2}$ \(X_0=\begin{bmatrix} x_1^0\\x_2^0 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 62^\circ17^\prime52^{\prime\prime}\\33^\circ52^\prime19^{\prime\prime} \end{bmatrix}\)
（2）列误差方程
\[\begin{bmatrix} v_1\\v_2\\v_3 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1&0\\0&1\\-1&-1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \hat{x_1}\\\hat{x_2} \end{bmatrix} +\begin{bmatrix} -62^\circ17^\prime52^{\prime\prime}\\-33^\circ52^\prime19^{\prime\prime} \\83^\circ49^\prime43^{\prime\prime} \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} v_1\\v_2\\v_3 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1&0\\0&1\\-1&-1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \delta\hat{x_1}\\\delta\hat{x_2} \end{bmatrix} +\begin{bmatrix} 0\\0\\6 \end{bmatrix}\]（3）组成法方程 \(\begin{bmatrix} 2&1\\1&2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \delta\hat{x_1}\\ \delta\hat{x_2}\\ \end{bmatrix} -\begin{bmatrix} 6\\6 \end{bmatrix} =0\)
（4）法方程解算 \(\begin{aligned} \begin{bmatrix} \delta\hat{x_1}\\ \delta\hat{x_2}\\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 2&1\\1&2 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} 6\\6 \end{bmatrix} \\&= \frac{1}{3}\begin{bmatrix} 2&-1\\-1&2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 6\\6 \end{bmatrix} \\&= \begin{bmatrix} 2^{\prime\prime}\\ 2^{\prime\prime}\\ \end{bmatrix} \end{aligned}\)
（5）平差值计算 \(\hat{X}=X_0+\delta\hat{X}= \begin{bmatrix} 62^\circ17^\prime52^{\prime\prime}\\33^\circ52^\prime19^{\prime\prime} \end{bmatrix} +\begin{bmatrix} 2^{\prime\prime}\\ 2^{\prime\prime}\\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 62^\circ17^\prime54^{\prime\prime}\\33^\circ52^\prime21^{\prime\prime} \end{bmatrix}\)
观测方程 $\hat{L}=B\hat{X}+d\qquad令\qquad\hat{L}=L+V，\hat{X}=X^0+\hat{x}$
误差方程 $V=B\hat{x}-l\qquad\qquad\qquad l=L-(BX^0+d)$
法方程 \(B^TPB\hat{x}-B^TPl=0\)
令 \(\mathop{N}\limits_{t,t}^{}{_{bb}}=B^TPB，\mathop{W}\limits_{t,1}=B^TPl\\ N_{bb}\hat{x}-W=0\\ \hat{x}=N_{bb}^{-1}W\\ V=B\hat{x}-l\\\)
则 \(\hat{L}=L+V，\hat{X}=X^0+\hat{x}\)
按间接平差法进行平差计算，第一步就是列出误差方程，为此，要确定平差问题中参数的个数，参数的选择以及误差方程的建立等。
间接平差中，待定参数的个数必须等于必要观测数的个数，而且要求这各参数必须是独立的。
不同形式的控制网
（1）水准网（三角高程网）
若网中有已知的水准点，参数个数=待定点的个数
若无已知点，参数个数=全部点数-1
（2）三角网
当网中有两个或两个以上已知点坐标，必要观测个数=未知点个数的两倍
当网中少于两个已知点时，必要观测个数=总点个数的2倍-4
（3）测边网（包括测边、边角同测、导线网）
当网中有两个或两个以上已知点坐标，必要观测个数=未知点个数的两倍
当网中少于两个已知点时，必要观测个数=总点个数的2倍-3
（4）GPS网
有足够起算数据时，必要观测个数=未知点个数的三倍+WGS84坐标系向地方坐标转换选取转换参数的个数（有三参数、四参数、七参数等）
当网中没有足够的起算数据时，则必要观测个数就等于总点数的3倍-3
以上为各类型的标准情况，当加测已知方向、已知边长时，还要具体情况具体分析。
水准网中，常选取待定点高程作为参数，也可选取点间的高差作为参数，但要注意参数的独立性。当选取待定点高程作为参数时可以保证参数的独立性。
在平面控制网、GPS网中选取未知点的二维坐标或三维坐标作为未知参数，可以保证参数之间的独立性，也可以选取观测值的平差值作为未知数，同样要注意参数之间的独立性。
高程控制网：待定点的高程
平面控制网：待定点的二维坐标
三维控制网：待定点的三维坐标
要求：足数，独立，易建立观测值与参数的函数关系
方法：吧观测值表示成所选参数的函数
水准网、GPS网一般是线性的，三角网和导线网一般是非线性的。
一般方程： \(\hat{L_i}=L_i+V_i=f_i(\hat{X_1},\hat{X_2},\cdots,\hat{X_t})=f_i(X_1^0+\hat{x_1},X_2^0+\hat{x_2},\cdots,X_t^0+\hat{x_t})\)
按泰勒公式展开，取一次项 \(v_i=\left(\frac{\partial{f_i}}{\partial{\hat{X_1}}}\right)_0\hat{x_1} +\left(\frac{\partial{f_i}}{\partial{\hat{X_2}}}\right)_0\hat{x_2} +\cdots +\left(\frac{\partial{f_i}}{\partial{\hat{X_t}}}\right)_0\hat{x_t} -(L_i-f_i(X_1^0,X_2^0,\cdots,X_t^0))\)
令 \(a_i=\left(\frac{\partial{f_i}}{\partial{\hat{X_1}}}\right)_0 \qquad l_i=L_i-f_i(X_1^0,X_2^0,\cdots,X_t^0)=L_i-L_i^0\)
则 \(v_i=a_1\hat{x_1}+a_2\hat{x_2}+\cdots+a_t\hat{x_t}-l_i\)
1.水准路线的误差方程
2.距离测量的误差方程
3.GPS/GNSS网的误差方程
4.坐标变换的误差方程
5.测角网的误差方程
间接平差的函数模型和随机模型是 \(\Delta=B\tilde{X}-l\tag{1}\) \(D=\sigma_0^2=\sigma_0^2P^{-1}\tag{2}\) 观测方程 \(L=B\hat{X}+D\tag{3}\) 误差方程 \(V=B\hat{X}-l\tag{4}\) \(l=L-L^0=L-(BX^0+d)\tag{5}\) 法方程为 \(B^TPB\hat{X}-B^TPl=0\tag{6}\) 其解为 \(\hat{x}=(B^TPB)^{-1}B^TPl=N^{-1}_{bb}W\tag{7}\) 观测量的参数的平差值 \(\hat{L}=L+V,\hat{X}=X^0+\hat{x}\tag{8}\) 单位权中误差 \(\hat{\sigma_0}\pm\sqrt{\frac{V^TPV}{r}}=\pm\sqrt{\frac{V^TPV}{n-t}}\tag{9}\) 平差参数$\hat{X}$的协方差阵 \(D_{\hat{X}\hat{X}}=\hat{\sigma_0}^2Q_{\hat{X}\hat{X}}=\hat{\sigma_0}^2N^{-1}_{bb}\tag{10}\) 平差参数的函数的协方差阵： 权函数阵 \(\delta\hat{\varphi}=F^T\hat{x}\tag{11}\) 协因数 \(Q_{\hat{\varphi}\hat{\varphi}}=F^TQ_{\hat{X}\hat{X}}F=F^TN^{-1}_{bb}F\tag{12}\) 方差 \(D_{\hat{\varphi}\hat{\varphi}}=\hat{\sigma_0^2}Q_{\hat{\varphi}\hat{\varphi}}\tag{13}\)