预备知识：
设： \(X=\begin{bmatrix}x_1,x_2,\cdots,x_t\end{bmatrix}^T\)
\[V=\begin{bmatrix} v_1\\v_2\\\vdots\\v_n \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} v_1(x_1,x_2,\cdots,x_t)\\v_2(x_1,x_2,\cdots,x_t)\\\vdots\\v_n(x_1,x_2,\cdots,x_t) \end{bmatrix}\] \[P=\begin{bmatrix} p_{11}&p_{12}&\cdots&p_{1n}\\ p_{21}&p_{22}&\cdots&p_{2n}\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ p_{n1}&p_{n2}&\cdots&p_{nn}\\ \end{bmatrix}\] \[p_{ij}=p_{ji}\]求$\frac{d(V^TPV)}{dX}$的表达式。
解：
\[\begin{aligned} &\frac{d(V^TPV)}{dX}\\ =&\begin{bmatrix} \frac{\partial(V^TPV)}{\partial{x_1}}&\frac{\partial(V^TPV)}{\partial{x_2}}&\cdots&\frac{\partial(V^TPV)}{\partial{x_3}} \end{bmatrix}\\ =&2V^TP\begin{bmatrix} \frac{dV}{dx_1}&\frac{dV}{dx_2}&\cdots&\frac{dV}{dx_t}& \end{bmatrix} \end{aligned}\]即 \(\frac{d(V^TPV)}{dX}=2V^TP\frac{dV}{dX}\)
几何模型：观测系统仅由几何量（如长度、角度、高程、坐标等）构成的模型。
物理模型：观测系统仅由与时间概念有关的物理量（如速度、加速度、应变等）构成的模型。
综合模型：观测系统既包含几何量又包含物理量构成的模型。
只有存在多余观测，才存在平差问题。
函数模型：对于给定的几何观测模型，由多种观测值，未知参数的选取方式，描述这种观测值、参数之间的数学期望关系的模型称为函数模型。参数个数一般用u来表示。
模型分类：线性模型和非线性模型。
平差模型：不同的选取方式形成了不同形态的函数模型，由此产生了四种基本的平差方法。
最或然值：用测量平差原理求得的未知数的解，也叫最或是值、最似然值、最可靠值、平差值。
最或然改正数：由测量平差原理计算的观测值改正数，也叫残差、改正数。
\[\hat{L}=L+V\] \[\hat{X}=X^0+x\]线性： 水准网 \(\tilde{h_{ij}}=\tilde{X_j}-\tilde{X_i}\)
非线性： 边角网 \(\tilde{S_{ij}}=\sqrt{(\tilde{X_j}-\tilde{X_i})^2+(\tilde{Y_j}-\tilde{Y_i})^2}\)
非线性平差函数模型的线性化
一般形式 \(F(\mathop{\tilde{L}}\limits_{n,1},\mathop{\tilde{X}}\limits_{n,1})=F(L+V,X^0+x)=0\\ =F()+\frac{\partial{F}}{\partial\tilde{L}}\Big\vert_{L,X^0}V+\frac{\partial{F}}{\partial\tilde{X}}\Big\vert_{L,X^0}=0\)
\[\mathop{\varPhi}\limits_{s,1}(\mathop{\tilde{X}}\limits_{u,1})=\varPhi(X^0)+\frac{\partial{\varPhi}}{\partial{\tilde{X}}}\Big|_{X^0}x=0\]线性形式 \(\left. \begin{aligned} \mathop{A}\limits_{c,n}\mathop{V}\limits_{n,1}+\mathop{B}\limits_{c,u}\mathop{x}\limits_{u,1}-\mathop{W}\limits_{c,1}=0\\ \mathop{C}\limits_{s,u}\mathop{x}\limits_{u,1}-W_x=0 \end{aligned} \right \} \begin{aligned} &W=-F(L,X^0)=-(AL+BX^0+D_)\\ &W_x=-\varPhi(X^0)=-(CX^0+C_0) \end{aligned}\)
平差数学模型：描述模型中元素的数学关系式。包括函数模型和随机模型。
平差函数模型：描述观测量、未知参数数学期望的模型。
平差随机模型：描述观测值、未知参数及其相互间统计性质的模型。 \(E(\Delta)=0\\D_\Delta=\sigma_0^2Q_\Delta=\sigma_0^2P^{-1}_{\Delta}\) \(E(\Delta)=\tilde{L}\\D_L=\sigma_0^2Q_L=\sigma_0^2P^{-1}_L\)
P/Q平差前确定，D平差后确定
Least-Square
最佳拟合的原则：各观测点到该拟合线的偏差的平方和达到最小。 \(\sum\limits_{i=1}^n{v}_i^2=min\)
不等精度观测数据：偏差的加权平方和达到最小 \(\sum\limits_{i=1}^n{p_iv_i^2}=V^TPV=min\)
根据最小二乘准则进行的估计称为最小二乘估计。
最小二乘估计量的性质