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• Chapter 1 测量误差及其传播定律
  • 1.1 测量误差及其分类
    • 一、真值和真误差
    • 二、误差分类
    • 三、处理原则
    • 四、几点说明
  • 1.2 偶然误差概率特性
    • 一、偶然误差的概率特性（统计特性）
    • 二、偶然误差的分布
  • 1.3 精度及其衡量指标
    • 一、基本概念
    • 二、方差和中误差
    • 四、极限误差
    • 五、相对误差
  • 1.4 协方差传播率（key point）
    • 随机变量函数的方差和中误差
  • 1.5 权与常用的定权方法
  • 1.6 协因数及其传播律

Chapter 1 测量误差及其传播定律

1.1 测量误差及其分类

一、真值和真误差

真值：反映一个量真正大小的绝对准确的数值。

估值：以一定的准确度表征一个量的大小的数值。

真误差：观测值与真值之差

约定符号：

• $X——真值$
• $L——观测值$
• $\Delta——真误差$
• $\Delta=L-X$

二、误差分类

• 粗差：由于作业人员的粗心大意或仪器故障造成差错。没有规律性

• 系统误差：
  • 定义：
  • 特点：具有累积性
  • 例：尺长误差、电离层误差、站标扭转误差等
• 偶然误差（随机误差）
  • 定义：测量条件中各种随机因素的偶然性影响而产生的误差
  • 特点：
    • 产生原因随机
    • 原因多方面
    • 单个误差的大小、符号无规律
    • 误差总体上服从统计规律

三、处理原则

粗差（Gross error）——————剔除

系统误差（Systematic errors）——改正

偶然误差（Random errors）——多余观测

四、几点说明

1. 系统误差和偶然误差可能同时存在。平差前应该尽量消除或减弱系统误差，使偶然误差居主要成分
2. 没有特殊说明，总是假定观测值仅含偶然误差
3. 平差处理理论局限性

1.2 偶然误差概率特性

一、偶然误差的概率特性（统计特性）

• 界限性：偶然误差是有界限的，对超过一定界限的称为粗差
• 聚中性：偶然误差越接近于零，分布越密。根据是否有聚中性，判断是否有系统误差。
• 对称性：绝对值相等的正负误差具有相同的概率
• 抵偿性：偶然误差理论平均值趋近于零$ss$

二、偶然误差的分布

实验：正态分布

理论：符合中心极限定理。如果把构成偶然误差的各种随即影响看成是随机变量，那么是观测值的误差就是服从正太分布的随机变量。

\[\Delta_偶=\Delta_1+\Delta_2+\cdots+\Delta_4\]

正态分布：$\Delta\in N(u,\sigma^2)$

正态分布的密度函数：$f(\Delta)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}}$

数字特征（期望和方差）：

正太分布是研究偶然误差的数学工具

1.3 精度及其衡量指标

一、基本概念

精度/精密度（Precision）——表示个观测值之间的密集或离散程度。表征偶然误差

准度/准确度（Accuracy）——又称为偏差，是观测值数学期望和真值之差。表征系统误差 \(E\{E(L-X)^2\}\) 精确度——观测值与真实值接近程度。表征总误差

观测质量评价描述
观测值

二、方差和中误差

1. 方差/标准差

观测值与对应的真误差有相同的方差

标准差σ的几何意义：误差分布密度函

1. 中误差 相同测量条件下的一组真误差平均值的平方根。 \(m=\pm\sqrt{\frac{[m\times m]}{}}\) 各真误差必须对应同一测量条件。

2. 平均误差 定义：真误差绝对值的数学期望，称为平均误差。

\[\theta=\]

1. 或然误差 一个正数ρ，

\[\int_{-\rho}^\rho\]

实用公式：中位数计算方法

\[\rho=\pm median\{\lvert\rvert\}\]

1. 几点说明：
   1. 按实用公式计算钟误差，平均误差和或然误差m，θ，ρ，只有当观测值个数相当多时，结果才比较可靠。
   2. 当观测值个数有限时，钟误差m比平均误差θ、豁然误差

四、极限误差

定义：一定测量条件下，偶然误差的最大允许值。

一般情况下 Δ限=2*m

困难情况下 Δ限=3*m

五、相对误差

问题： \(s_1=10000m\pm0.5m\\ s_2=200m\pm0.01m\) 谁的精度高？

相对（中）误差是中误差与相应观测值之比。

说明：相对误差没有单位。 相对误差一般用于长度测量。真误差、中误差、平均误差、或然误差、极限误差称为绝对误差。

1.4 协方差传播率（key point）

预备知识

1. 随机变量的协方差：
   • 设x，y为随机变量，他们的协方差为$\sigma_{xy}=E{(x-E(x))(y-E(y))}$
2. 随机变量的协方差——协方差矩阵
   • 特点：对称；正定；观测值相互独立，对角矩阵；等精度规则，对角元素相等。

3. 向量间的协方差矩阵

4. 向量的微分

导例 求三角形每个角度观测中误差

n次测量取平均，求中误差

定义 根据随机变量/随机向量的方差-协方差求其函数/函数向量的方差

随机变量函数的方差和中误差

协方差传播应用步骤

• 根据实际情况确定函数与观测值的关系值
• 写出观测量的协方差阵
• 对函数进行线性化
• 协方差传播率

由三角形闭合差计算测角中误差（菲列罗公式）

一个量算术平均数的中误差

1.5 权与常用的定权方法

1.6 协因数及其传播律

权逆阵、权倒数的传播

相关权

矩阵求逆方法： \(A^{-1}=\frac{1}{\lvert A \rvert}A^*\)

（$A^*$是A的伴随矩阵）

二阶矩阵 \(A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\) 的逆 \(A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}\)

权阵 平差计算中，往往用协因数阵的逆阵参与运算，为表达方便，将其逆阵用符号P表示，并称其为权阵，即 \(\left.\begin{aligned}&P_{XX}=Q{XX}^{-1}\\&P_{XX}Q_{XX}=I\end{aligned}\right\}\)

\[P=Q^{-1}=\begin{bmatrix}Q_{11}&Q_{12}&\cdots&Q_{1n}\\Q_{21}&Q_{22}&\cdots&Q_{2n}\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\Q_{n1}&Q_{n2}&\cdots&Q_{nn}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}P_{11}&P_{12}&\cdots&P_{1n}\\P_{21}&P_{22}&\cdots&P_{2n}\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\P_{n1}&P_{n2}&\cdots&P_{nn}\end{bmatrix}\]

观测值的权一般要通过对权阵求逆得到协因数阵，在用权与协因数的倒数关系求权。当权阵为对角阵$Q_{ii}=1/P_{ii}$时，在由权与协因数的关系得$P_i=\frac{1}{Q_{ii}}=P_{ii}$

对于独立观测值，其方差为$\sigma^2$，权为$p_i$，单位权方差为$\sigma^2_0$。

\[\mathop{X}\limits_{n,1}=\begin{bmatrix}X_1\\X_2\\\cdots\\X_n\end{bmatrix}\] \[D_{XX}=\begin{bmatrix}\sigma_1^2&0&\cdots&0\\0&\sigma_2^2&\cdots&0\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\0&0&\cdots&\sigma_n^2\end{bmatrix}\] \[P_{XX}=\begin{bmatrix}P_1&0&\cdots&0\\0&P_2&\cdots&0\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\0&0&\cdots&P_n\end{bmatrix}\]

X的协因数阵位为： \(Q_{XX}=\frac{1}{\sigma_0^2}D_{XX}=\begin{bmatrix}\frac{\sigma_1^2}{\sigma_0^2}&0&\cdots&0\\0&\frac{\sigma_2^2}{\sigma_0^2}&\cdots&0\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\0&0&\cdots&\frac{\sigma_n^2}{\sigma_0^2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{1}{P_1}&0&\cdots&0\\0&\frac{1}{P_2}&\cdots&0\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\0&0&\cdots&\frac{1}{P_n}\end{bmatrix}\)