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空间数据误差处理

课程

• 课时28+8

授课目标

• 测量误差性质
• 方差-协方差传播率
• 权与定权
• 最小二乘法原理
• 经典平差方法
• 可视化点位精度评定

教学目标

• 误差特性和传播定律
• 掌握最小二乘法原理再空间数据处理中的应用
• 经典测量平差原理和方法
  • 间接平差
  • 条件平差
  • 附有参数的条件平差
• 使用计算机语言辅助实现经典平差的实际应用

与研究生考试的关系

• 测绘科学与技术
  • 大地测量学与测量工程
  • 摄影测量与遥感
  • 地图制图学与地理信息系统工程
  • 测绘工程（专硕）

作用与地位

• 解决测量工作中的实际问题，对测量数据机型处理，犰虎最佳估值，评价数据的质量（精确度）。
• 是测绘学科的基础理论，是对仪器操作和基本测量方法的主要补充。
• 课程基础
• 开展科学研究的重要手段与方法

参考书目

• 测量平差，张书毕，中国矿业大学
• 误差理论与测量平差基础，武汉大学出版社
• 误差理论与测量平差基础习题集，武汉大学出版社
• 概率论、线性代数、微积分等数数学课本

线上资源

• 学习通
• i163，mooc，误差理论与测量平差基础

学习建议

• 课前预习（线上资源+课本）
• 课后复习+作业练习+答疑

引例1——条件极值

条件极值如何求取

条件极值函数： \(\left \{ \begin{aligned} f=x_1^2+\frac{1}{2}x_2^2+\frac{1}{3}x_3^2 \end{aligned} \right .\)

约束条件1： \(\left \{ \begin{aligned} x_1^2+x_2^2+x_3^2=1 \end{aligned} \right .\)

约束条件2： \(\left \{ \begin{aligned} x_1+x_2=-22\\ -x_2+x_3=10 \end{aligned} \right .\)

引例2——测量学

从多个控制点引导线到待测点，得到坐标（高程）不同，如何处理？

• 检查超限问题，重测
• 加权平均，由路线长度、测站数量作为权重

引例3——大地测量学

平面坐标转换 \(\begin{bmatrix}X\\Y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}X_0\\Y_0 \end{bmatrix} +(1+m) \begin{bmatrix} \cos{\alpha}&-\sin{\alpha}\\\sin{\alpha}&\cos{\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y \end{bmatrix}\)

三维坐标转换（七参数法）:3个点,9个方程

\[\begin{bmatrix}X_2\\Y_2\\Z_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}X_0\\Y_0\\Z_0 \end{bmatrix} +(1+m) \begin{bmatrix}X_1\\Y_1\\Z_1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}0&\varepsilon_Z&-\varepsilon_Y\\-\varepsilon_Z&0&\varepsilon_X\\\varepsilon_Y&-\varepsilon_X& 0\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix}X_1\\Y_1\\Z_1 \end{bmatrix}\]

高程异常拟合（大地高->正常高） \(\zeta=a_0+a_1x+a_2y+a_3x^2+a_4y^2+a_5xy\)

引例4——其他课程

摄影测量——光束法平差

卫星导航定位——单点定位、相对定位

地理信息系统——地图集合纠正（2维/3维相似变换）

目录

• Chapter 0 前言——2
• Chapter 1 测量误差及其传播定律——3
• Chapter 3 平差数学模型与最小二乘原理——2
• Chapter 4 条件平差——5
• Chapter 5 间接平差——6
• Chapter 6 概括平差——4
• Chapter 7 误差椭圆——2
• Chapter 8 编程基础及实验——8

测量平差基本概念

测量条件与测量误差

测量是观测者在特定环境中借助仪器获取测量对象物理（几何）信息的活动。

测量条件=观测者+仪器+测量环境+测量对象

结论：测量条件不可能尽善尽美，必有测量误差。

测量误差：观测值与其客观真实值之差。

测量条件

• 观测者：鉴别力、工作态度、水平差别
• 仪器：精密度、读盘刻划、轴向误差
• 测量环境:圆筒、标尺
• 测量对象：

测量条件好，测量精度高。

等精度观测

多余观测：

• 必要观测以外的观测。
• 作用：
  • 发现观测误差
  • 提高观测结果的精度

必要观测：测量中可确定全部未知量所需的最少的观测（必需观测）。

eg.三角形内角观测

最小二乘原理（the Least Squares Principle）

等精度观测：改正数平方相加最小

精度不相等：加权

测量平差（Adjustment of Observation） 在多余观测基础上，依据一定的观测模型，按照一定的数学法则，对观测结果进行合理的调整，求得一组没有矛盾的最可靠结果，并评定精度，这种处理方法和过程称为测量平差。

与平差有关的两个词：

最或然值：用最小二乘平差求得的未知数的解，也叫最可靠值，平差值。

最或然改正数：最小二乘平差计算的观测值改正数，也叫残差，改正数。

L:观测

$\hat{X}$ 平差

V 最后得到的输出

\[V=\hat{X}-L\]

测量平差的任务

1. 由最小二乘法求带定量的平差值（参数估计）
2. 估计观测结果和平差结果的精度（精度评定）

研究对象

1. 偶然误差
2. 系统误差
3. 粗差
4. 带有偶然误差的观测值

测量平差发展简史

古老而又充满活力的

产生背景

多于未知参数的观测值集合求出未知数的最佳估值

经典最小二乘法

高斯，概论统计角度提出最小二乘

课程内容

• 误差理论 chapter 1
• 测量平差方法 chapter 2-5
• 误差椭圆 chapter 6
• 编程基础
• 编程补充

数学补充知识

矩阵

• 由m*x个数有次序排列
• m=n 方阵
• 元素全0，称为零矩阵，用O
• 对角阵
• 单位阵
• 对称矩阵

矩阵基本运算

• 矩阵相等
• 矩阵加减
• 矩阵相乘

矩阵转置

行列互换

转置矩阵的性质

矩阵的逆

• 给定一个n阶方阵A，若存在一个同阶方阵B，使$AB=BA=I(E)$，则称B为A的逆矩阵，记为$B=A^{-1}$

• A矩阵存在逆矩阵的充分必要条件是A的行列式不等于0,称A为非奇异矩阵，否则为奇异矩阵。

• 矩阵的逆的性质： \(\begin{aligned} &(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\\ &(A^{-1})^{-1}=A\\ &(I)^{-1}=I\\ &(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T\\ &对称矩阵的逆仍然是对称矩阵。\\ &对角矩阵的逆仍然是对角矩阵且：\\ &A^{-1}=(diag(a_{11},a_{22},\cdots a_{nn}))^{-1}\\ &=diag(\frac{1}{a_{11}},\frac{1}{a_{22}}\cdots \frac{1}{a_{nn}})\\ \end{aligned}\)

• 矩阵求逆方法： 代数余子式： 设$A_{ij}$为A的第i行j列元素$a_{ij}$的代数余子式，则由nn个代数余子式构成的矩阵为A的伴随矩阵的转置矩阵A^称为A的伴随矩阵。

\[A^*=\begin{bmatrix} A_{11}&A_{21}&\cdots &A_{n1}\\ A_{12}&A_{22}&\cdots &A_{n2}\\ \cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\ A_{1n}&A_{2n}&\cdots &A_{nn}\\ \end{bmatrix},A^{-1}=\frac{1}{\lvert A \rvert}A^*\]

（$A^*$是A的伴随矩阵）

二阶矩阵 \(A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\) 的逆 \(A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}\)